Перейти к содержимому
qwertyMAN

Задача о оптимальной форме бочки

Рекомендуемые сообщения

А вопрос у меня вот какой, справедливо ли утверждение, что приравнивая площадь сечения можно получить истинно-верный ответ? Или это просто совпадение? Площадь сечения символизирует, насколько изменится фигура при растяжении её по одному из параметров. И что более важно, если да, то нужна именно площадь или объём? (площадь умноженная на бесконечно малую единицу) Возможно написал сейчас полный бред. Извиняюсь, если вам из-за меня стало стыдно и уши свернулись и отвалились. А мозг отсох от тупости предположения.

 

именно так)  Объем любой 3D фигуры можно представить, как совокупность(сумму) площадей бесконечно тонких срезов. Это верно для симметричных фигур. Случай с цилиндром можно было рассматривать в контексте осевого сечения, а это бесконечно малый объем цилиндра и это справедливо для всех цилиндров любой высоты и толщины=) Площадь квадрата максимальна, и при этом периметр минимален. Это же верно и для круга - его площадь максимальна, при этом длина окружности будет минимальна. Именно поэтому самая эффективная 3D фигура с точки зрения максимального объема к минимальной поверхности - сфера, а не какой-то эллипсоид. Поэтому и газ старается сделать из резинового шарика сферу, а не какую-то колбаску или пирамидку с ушами. Это же касается и куба и конуса(равносторонний треугольник - это оптимальная фигура в соотношении S/P ) и даже икосаэдра. 

 

Природа сама ищет оптимальный объем с минимальной площадью поверхности и стремится к симметрии. Компьютерные законы Матрицы, в которой мы живем, еще пока никто не отменял :)

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

И кстати, я уже не вижу кнопки "объявить ответ и закрыть тему". Кажется раньше такая была или мне это всё приснилось. Ну и ладно, тогда пусть открыта тема будет.

В вопросах по Lua так и есть. Там могут быть конкретные вопросы и конкретные ответы. А здесь беседка, где важен не только ответ, но и сам процесс общения.

 

справедливо ли утверждение, что приравнивая площадь сечения можно получить истинно-верный ответ? Или это просто совпадение?

И да и нет. Смотря как сечь фигуру. К примеру, в сечении цилиндра можно увидеть круг, который никак не покажет нам результаты оптимизации. Опытные математики знают правильное сечение, что упрощает им жизнь. Зато площадь поверхности фигуры является более универсальным мерилом, формулы усложняются, но возможность ошибки при аккуратном преобразовании формул исключена.

 

нужна именно площадь или объём? (площадь умноженная на бесконечно малую единицу)

Я до конца не уверен в том, что во всех случаях достаточно оперировать площадью фигуры. Но то, что площадь эквивалентна объёму при бесконечно малой его толщине, не должно вызывать сомнений.

 

Наш пример: Находим полезный объём цилиндра, объём с добавлением толстых стенок, и объём самой стенки. Затем получаем площадь делением объёма стенки на её толщину и находим её предел при стремлении толщины к нулю.

iIdhT6a.png

Как можно видеть, формула площади, полученная через предел от объёма стенки, полностью совпала с привычной формулой площади цилиндра.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

 

 

Объем любой 3D фигуры можно представить, как совокупность(сумму) площадей бесконечно тонких срезов.

Если с кубоидом всё понятно, то с цилиндром возникают вопросы.

Логично, что нужно найти площади на которые будет фигура увеличиваться при повышении одного параметра и приравнять их все для каждого параметра.

Но! Почему мы берём именно сечение цилиндра? Осевое сечение конуса можно брать для решения задач с ним? Или это только в рамках задач про конус?

Просто у меня был другой вариант. При увеличении радиуса ведь увеличивается величина, равная площади внешней поверхности цилиндра, кроме площади оснований. Почему не взять бы его?

Всё никак не пойму общего вида решения для любой фигуры. Я вот просто хочу вычисления проводить с фигурами, где нужно найти угол, вроде пирамид и конусов. Там сечения будут и в размере меняться. И от угла зависеть. А для этого нужно понять физический смысл решения через площади. Почему взята именно эта площадь.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

QEjwNM6.png

Площадь цилиндра, подставлена высота из предыдущей формулы:

3NvsCMO.png

Объём цилиндра принимаем за константу, а площадь дифференцируем по радиусу и приравниваем производную к нулю:

uUGghwY.png

Это зависимость объема от радиуса при условии, что поверхность цилиндра минимальна.

Подставляем в изначальную формулу объема и получаем соотношение высоты и радиуса:

DF6xr1u.png

При этом соотношении площадь цилиндра минимальна при заданном объеме. Справедливо и обратное: при заданной площади объём цилиндра максимален. Задача для случая бесконечно тонкой стенки цилиндра решена.

 

 

Я чтото щитал и у меня ничего не получается, решил подставить числа в твои формулы.

По идее V/S - ет ефективность, чем больше она тем лучше 

 

h = 2 ,  r = 1 :  V/S = pi 1^2 * 2/ 2pi 1^2 + 2pi * 2 * 1 = 1/3

h = 4 ,  r = 1 :  V/S = pi 1^2 * 4/ 2pi 1^2 + 2pi * 4 * 1 = 2/5

 

2/5 > 1/3

перещитувал 10 раз не могу в чем ошыбка?

Изменено пользователем whiskas

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

а кажись я понял что я не вщитал )

нужно просто принять S или V как константу и дальше все зведется к 2R = H

если не принять константу то у формулях всегда размер будет стремится к Бексончености

Изменено пользователем whiskas

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах
Если с кубоидом всё понятно, то с цилиндром возникают вопросы. Логично, что нужно найти площади на которые будет фигура увеличиваться при повышении одного параметра и приравнять их все для каждого параметра. Но! Почему мы берём именно сечение цилиндра? Осевое сечение конуса можно брать для решения задач с ним? Или это только в рамках задач про конус?

 

речь идет только о простых правильных примитивах. Этим не стоит злоупотреблять, и лучше для надежности применить мат.анализ. Почему осевое сечение? Потому что это по сути наши габаритные размеры, которыми мы оперируем. В нашем случае это радиус и высота цилиндра(конуса) и т.д. Осевое сечение цилиндра - прямоугольник, в частном случае, квадрат. Осевое сечение конуса - треугольник.

.Все, что правильно вписывается в сферу - будет нашим решением задачи о минимальной площади. Это куб, цилиндр с соотношением d=h, равносторонний треугольник и т.д.

 

Нарисуй на бумажке окружность и впиши в него квадрат, потом равносторонний треугольник. И попробуй мысленно вращать листок вокруг оси его плоскости. В первом случае получишь цилиндр в сфере, во втором случае конус внутри сферы(только ось вращения из центра окружности проведи перпендикулярно к любой из сторон треугольника)

И ты увидишь, как получаются трехмерные фигуры =)

А так как любой правильный многоугольник (треугольник, квадрат, правильный шестиугольник и тд. имеют максимальный профит в площади по отношению к периметру), то и все наши фигуры тоже будут оптимальными в соотношении объема к площади поверхности. Ведь что такое правильный многоугольник? правильно. Это окружность с каким-то ограниченным количеством полигонов :)

 

Если не веришь,возьми формулы объема и площади конуса и реши его по той же схеме, как решил eu_tomat цилиндр. Не удивлюсь, если оптимальный конус - это 60 градусов наклонная.

 

Вселенная любит сферу, поэтому и капелька воды всеми силами стремиться приобрести сферическую форму, чтобы заключить в себе максимальный объем и минимизировать площадь поверхности и силы поверхностного натяжения свести к минимуму.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Почему мы берём именно сечение цилиндра? Осевое сечение конуса можно брать для решения задач с ним?

...

Всё никак не пойму общего вида решения для любой фигуры.

Интуиция мне говорит, что площадь осевого сечения конуса можно использовать для оценки его объема. Но для подтвеждения этого надо всё-таки вывести формулу, желательно для случая проивзольного профиля осевого сечения. Для конуса формула выводится по тому же алгоритму, что и для цилиндра, но я пока не занимался этим вопросом. Меня сейчас больше занимает поиск решения для произвольного профиля. Если тебе интересен случай конуса, то посчитай сам, не ленись.

 

а кажись я понял что я не вщитал ) нужно просто принять S или V как константу и дальше все зведется к 2R = H если не принять константу то у формулях всегда размер будет стремится к Бексончености

Да, многие допускают эту ошибку. И чтобы расставить точки над Ё, приведу аналогию, понятную майнкрафтерам.

 

Вот, есть у нас кубик. Он имеет объём одного куба и площадь в шесть квадратов.

 

Возьмём ещё один кубик. Суммарно их объём составлит два куба, а площадь 12 квадратов. И если мы поставим эти кубики один на другой, то суммарный объём не изменится, зато площадь уменьшится на два квадрата. В принципе, эти два кубика можно было бы соединитдь любыми сторонами, площадь всегда уменьшится на два квадрата. Но пока оставим фигуру из двух поставленных друг на друга кубов.

 

Возьмём ещё одну точно такую же фигуру из вертикально расположенных двух кубиков. Если мы поставим её на предыдущую так же вертикально, то снова их суммартный объем сохранится, а суммарная площадь уменьшится на два квадрата. Видно, что соотношение объема к поверхности улучшится. Но если эти две фигуры соединить не вертикально, как в прошлый раз, а присоединить по горизонтали, то суммарная площадь сможет уменьшиться не на два, а на четыре блока, что даст гораздо лучшее соотношение.

 

В следующей итерации объединения фигур можно будет уменьшить суммарную площадь поверхности на 4 или на 8 блоков. Эффективность фируры при росте её объема возрастёт в любом случае, но максимума она достигнет только при соотношении сторон, приближающем форму готовой фигуры к кубической.

 

Понятно, что мы не можем просто так склеить два цилиндра боковыми поверхностями, но аналогия сохраняется при выборе увеличить ли высоту цилиндра или его радиус. Как уже говорилось выше, оптимальное соотношение радиуса и высоты даёт квадрат в осевом сечении цилиндра.

Поделиться сообщением


Ссылка на сообщение
Поделиться на других сайтах

Присоединяйтесь к обсуждению

Вы можете написать сейчас и зарегистрироваться позже. Если у вас есть аккаунт, авторизуйтесь, чтобы опубликовать от имени своего аккаунта.

Гость
Ответить в тему...

×   Вы вставили отформатированное содержимое.   Удалить форматирование

  Разрешено использовать не более 75 эмодзи.

×   Ваша ссылка была автоматически встроена.   Отобразить как ссылку

×   Ваш предыдущий контент был восстановлен.   Очистить редактор

×   Вы не можете вставлять изображения напрямую. Загружайте или вставляйте изображения по ссылке.


×
×
  • Создать...