Задача о оптимальной форме бочки

[qwertyMAN 1 723]

Да, это задача о оптимальной форме бочки.

Дано: R - радиус, h - высота

Обьём вместительности (внутренний обьём) бочки цилиндрической формы pi * R^2 * h (где pi - всем известная константа пи)

Размер стенки из материала - n

Обьём материала на строительство такой бочки (pi * (R+n)^2 * (h+2*n) ) - pi * R^2 * h

 

Цель: найти оптимальное соотношение таких параметров как радиус и высота, при которой "эффективность" или затраты материала минимальны при максимальной вместительности. То есть когда (pi * R^2 * h)/((pi * (R+n)^2 * (h+2*n) ) - pi * R^2 * h) максимален.

Можно обозначить эту зависимость так: R = a*h и искать a которая бы удовлетворяла условию задачи.

Какие ваши идеи по поводу решения?

 

Мои идеи были ещё с прошлой задачи, где я искал оптимальную форму печи из Tinkers' Construct. Там для решения было достаточно приравнять площади срезов. Вышла тогда зависимость x = 0,5*y = z

Сейчас же такой метод не работает для этой и других подобных задач, где бы одна из сторон меняла бы площадь среза.

 

Дополнительное задание для того кому эта задача покажется лёгкой, найти то же самое, но для конусной формы. Там к неизвестным прибавится так же угол альфа.

[NEO 542]

Размер стенки из материала - n

Можно подробнее?

Изменено 14 августа, 2018 пользователем NEO

[qwertyMAN Автор темы 1 723]

Размер стенки из материала - n

Можно подробнее?

Просто стенка. В формуле итак понятно что происходит. От объема с учётом стенки отнимается объем без неё. Чтобы найти нужный объем той прослойки из которой состоит бочка.

[davial 1 972]

Размер стенки из материала - n

Можно подробнее?

Первоначально, n можно не учитывать. Бери просто, площадь поверхности цилиндра.

 

Да, это задача о оптимальной форме бочки.

Дано: R - радиус, h - высота

...

Эх ... придётся построить 3D-график, и находить максимальное V при минимальных R и h

Изменено 14 августа, 2018 пользователем davial

[whiskas 144]

дел

Изменено 14 августа, 2018 пользователем whiskas

[qwertyMAN Автор темы 1 723]

дел

Блин спасибо чувак. Я бы сам не решил задачу если бы не ты)

[whiskas 144]

Блин спасибо чувак. Я бы сам не решил задачу если бы не ты)

я просто там написал вопрос и потом нашел сам ответ на ет вопрос

И да слишком много переменных для решения

n - толщина

h - висота

r - радиус

X - стоимость

Y - обьем 

 

Что б решить ет нужно хотябы знать Сколько у тебя есть ресурсов X и знать Толщину n или хотябы соотношение толщины к радиусу или высоте так как если n оставить переменной то в розщетах выдастса что n -> 0, з стоимостю тожесамое ток она будет прямувать к бесконечности

и тогда мы сможем для етих данных искать оптимальную бочку 

 

 

 

ты должен заполнить 2 любых переменных например

заполняеш X,n ищеш оптимальную бочку

заполняеш Y n ищеш минимальную стоемость

заполняеш X Y ищеш максимальную толщину какую себе можеш позволить

 

 

Задачка щас просто выглядит "дайте мне не знаю чего и не знаю сколько и не знаю какого качества но что б было дешевле всего"

Изменено 14 августа, 2018 пользователем whiskas

[qwertyMAN Автор темы 1 723]

 

 

Что б решить ет нужно хотябы знать Сколько у тебя есть ресурсов X и знать Толщину n или хотябы соотношение толщины к радиусу или высоте так как если n оставить переменной то в розщетах выдастса что n -> 0 и тогда мы сможем для етих данных искать оптимальную бочку

Да ладно. Переменных всего две, R и h. Которые неизвестны и соотношение которых нужно найти при одном условии.

Остальное известно и будет подставляться в формулу. Задача то узнать формулу. То есть найти соотношение R и h. Приравнять их. То есть в формуле R = k * h, в k будут все остальные переменные которые известны. И ничего сложного нет в том что переменных много. На решение задачи оно не должно сильно сказаться.

 

Вопрос тут для меня скорее в методе решения, как лучше. Графики строить и по графикам приравнивать? Тогда что приравнивать?

Или как в прошлый раз делать расчёты, что происходит при расширении каждой части на некую длину n, бесконечно малую. И приравнивать эти уравнения?

Какой метод нужен? Вот в чём дело. Я не сталкивался не в школе, не в универе с решением подобных задач.

Либо не понимаю, как применить полученные навыки на практике. Что ещё более обидно бы было.

 

Если я узнаю метод, смогу и другие подобные задачи решать. Вот почему и обратился за помощью сюда. Уже несколько дней сижу и думаю что же лучше, как графики в 3D представлять. Просто не могу вообразить их.

[whiskas 144]

Да ладно. Переменных всего две, R и h. Которые неизвестны и соотношение которых нужно найти при одном условии.

Остальное известно и будет подставляться в формулу. Задача то узнать формулу. То есть найти соотношение R и h. Приравнять их. То есть в формуле R = k * h, в k будут все остальные переменные которые известны. И ничего сложного нет в том что переменных много. На решение задачи оно не должно сильно сказаться.

 

Вопрос тут для меня скорее в методе решения, как лучше. Графики строить и по графикам приравнивать? Тогда что приравнивать?

Или как в прошлый раз делать расчёты, что происходит при расширении каждой части на некую длину n, бесконечно малую. И приравнивать эти уравнения?

Какой метод нужен? Вот в чём дело. Я не сталкивался не в школе, не в универе с решением подобных задач.

Либо не понимаю, как применить полученные навыки на практике. Что ещё более обидно бы было.

 

Если я узнаю метод, смогу и другие подобные задачи решать. Вот почему и обратился за помощью сюда. Уже несколько дней сижу и думаю что же лучше, как графики в 3D представлять. Просто не могу вообразить их.

ты ее и не решиш потомушо у тя переменные про какие даже ты не знаеш)

если хочеш приблизительно то укажи какуюто толщину и макс стоимость

 

ты щитаеш просто от стоимости (количества материала) и обьема бочки, а стоимость не пощитаеш без толщины то вот ещо твоих 3 пермененных

и переменные в k ты не вынесеш так как они связаные!

Изменено 14 августа, 2018 пользователем whiskas

[qwertyMAN Автор темы 1 723]

 

 

ты ее и не решиш потомушо у тя переменные про какие даже ты не знаеш)

Боюсь ты не прав, парень.

Моя задача не решить, а вывести формулу. Это совершенно иная задача и если бы она была недостижима при текущих входных данных, думаю так бы и написали гуру математики.

Но задача есть и вполне реально её решить. Задача найти зависимости.

 

Возможно, тебе не стоит больше писать в эту тему. Тут обсуждаются слишком сложные задачи. (и у них есть ответ) Так что лучше перестать флудить и ждать пока гуру математики помогут найти методы решения. Я за них уже помолился)

[whiskas 144]

Боюсь ты не прав, парень.

Моя задача не решить, а вывести формулу. Это совершенно иная задача и если бы она была недостижима при текущих входных данных, думаю так бы и написали гуру математики.

Но задача есть и вполне реально её решить. Задача найти зависимости.

 

Возможно, тебе не стоит больше писать в эту тему. Тут обсуждаются слишком сложные задачи. (и у них есть ответ) Так что лучше перестать флудить и ждать пока гуру математики помогут найти методы решения. Я за них уже помолился)

 

вынести 1 переменую сможеш но приравнять к r = h * z  где в z нету переменных r и h не сможеш (все писаться сюда не буду, но рано или позно "надеюсь" ты осознаеш свою ошыбку)

Изменено 14 августа, 2018 пользователем whiskas

[Zer0Galaxy 2 187]

 

 

Вопрос тут для меня скорее в методе решения

Нужно вспомнить, что производная в точке экстремума равна нулю 

[Alex 4 683]

@@qwertyMAN это какой-то конкурс или тебе просто решение нужно этой проблемки?

 

Если абстрагироваться от толщины стенки, то есть считать ее бесконечно тонкой, то задача решается поиском минимальной площади поверхности цилиндра при заданном объеме. Если просто нужен ответ, то ответ 2, то есть H/R = 2 (осевое сечение цилиндра - квадрат).

А если это конкурс, то пусть тогда решает кто-то)

[qwertyMAN Автор темы 1 723]

@@Alex это просто одна из задач которую я выдумал. И тема над которой я стал задумываться. Суть в более менее понятном примере на основе которого я рассчитываю понять, как решаются подобные задачи. Думаю решение на основе цилиндра то что надо, чтобы мне понять как решать с другими фигурами. Но пока я не понял как это делать.

 

 

 

Нужно вспомнить, что производная в точке экстремума равна нулю

Вот только я смутно понимаю, что такое производна. И особенно на трёхмерном графике. Это где вообще?

[Alex 4 683]

это просто одна из задач которую я выдумал. И тема над которой я стал задумываться.

 

понятно. Это хорошо, что задумываешься над такими вещами.

п.с. кстати, выдумали эту задачку очень давно, задолго до твоего рождения даже, и конечно ее уже давным давно решили=)

[davial 1 972]

Нужно вспомнить, что производная в точке экстремума равна нулю 

Это походу частный пример, когда Vцил.=const. А иначе - мы будем иметь ряд точек.

 

@@Alex это просто одна из задач которую я выдумал. И тема над которой я стал задумываться. Суть в более менее понятном примере на основе которого я рассчитываю понять, как решаются подобные задачи. Думаю решение на основе цилиндра то что надо, чтобы мне понять как решать с другими фигурами. Но пока я не понял как это делать.

 

 

 

Вот только я смутно понимаю, что такое производна. И особенно на трёхмерном графике. Это где вообще?

Может быть ещё вариант, когда : либо - минимальное количество материала стенок, либо - максимальный объём.

[whiskas 144]

я пробувал обьяснить что нада указать толщину стенок)

и макс кол материала так как если у нас безмежно то мы можем в соотношение уменшить стенки к минимуму

толщина стенки переменая  толщина стенки-> 0 

материал переменная  размер -> ∞

Изменено 14 августа, 2018 пользователем whiskas

[Appo 86]

чекни, может поможет

бочка - https://www.geogebra.org/3d/q2u2qt98
конус - https://www.geogebra.org/3d/ry8begsr
утолщение конуса (наращение высоты и радиуса) вывел через подобие треугольников

Пояснения:

каждый график это отношение:

(объем материала)/(объем вместительности бочки)
и нахождение этого отношения через x, y (R, h соответственно)

 

Изменено 14 августа, 2018 пользователем Appo

[eu_tomat 2 155]

Лайки этим постам:

Первоначально, n можно не учитывать. Бери просто, площадь поверхности цилиндра.

Нужно вспомнить, что производная в точке экстремума равна нулю

Если абстрагироваться от толщины стенки, то есть считать ее бесконечно тонкой, то задача решается поиском минимальной площади поверхности цилиндра при заданном объеме. Если просто нужен ответ, то ответ 2, то есть H/R = 2 (осевое сечение цилиндра - квадрат).

Это походу частный пример, когда Vцил.=const. А иначе - мы будем иметь ряд точек.

И далее подробнее с этого места:

Вот только я смутно понимаю, что такое производная. И особенно на трёхмерном графике. Это где вообще?

К чёрту трёхмерные графики. Они тут нам вообще не нужны.

 

Для начала вспоминаем, что производная — это скорость роста функции в каждой её точке. Попробую пояснить её применение на этой задаче.

 

Объем цилиндра зависит от его радиуса и высоты. И площадь тоже зависит от радиуса и высоты, но по другой формуле.

 

Нам нужно минизировать площать при заданном объеме. Или наоборот, но это совсем не принципиально, т.к все формулы обратимы. Я считаю, что формулы имеют более простой вид при выводе площади из объема. Попробуйте сделать наоборот, и мой выбор станет понятным.

 

Сначала выведем формулу зависимости площади от радиуса или высоты при постоянном объёме. На каком-то участке функции будет наблюдаться уменьшение площади, а на каком-то её увеличение. То есть, функция сначала будет падать, а затем, пройдя точку минимума, начнёт подниматься. В точке минимума функции её производная обратитится в ноль. Соответственно, приравняв к нулю производную, мы сможем найти точку, в которой площадь минимальна.

 

В формулах это будет выглядеть таким образом:

 

Формула объёма цилиндра, формула зависимости высоты от объема и радиуса:

Площадь цилиндра, подставлена высота из предыдущей формулы:

Объём цилиндра принимаем за константу, а площадь дифференцируем по радиусу и приравниваем производную к нулю:

Это зависимость объема от радиуса при условии, что поверхность цилиндра минимальна.

Подставляем в изначальную формулу объема и получаем соотношение высоты и радиуса:

При этом соотношении площадь цилиндра минимальна при заданном объеме. Справедливо и обратное: при заданной площади объём цилиндра максимален. Задача для случая бесконечно тонкой стенки цилиндра решена.

 

Аналогичным образом можно задать толщину стенки произвольного размера. В этом случае используем постоянный полезный объём, и ищем минимум для объёма, к которому добавляется толщина стенок. Я упоролся и таки вывел формулы и для этого случая тоже. Результат совпал с предыдущим, но формулы получились многократно сложнее. Поэтому публиковать я их не буду. Алгоритм их получения тот же самый, с той лишь разницей, что придётся написать больше символов, и будет больше шансов допустить ошибку. Тут помогут только аккуратность и терпение.

[qwertyMAN Автор темы 1 723]

 

 

Задача для случая бесконечно тонкой стенки цилиндра решена.

Спасибо огромное за пояснение решения.

 

Казалось бы, ответ на задачу уже есть и пора закрывать тему. Но я немного хочу разъяснить некоторые моменты

И кстати, я уже не вижу кнопки "объявить ответ и закрыть тему". Кажется раньше такая была или мне это всё приснилось. Ну и ладно, тогда пусть открыта тема будет.

 

А вопрос у меня вот какой, справедливо ли утверждение, что приравнивая площадь сечения можно получить истинно-верный ответ? Или это просто совпадение?

Площадь сечения символизирует, насколько изменится фигура при растяжении её по одному из параметров.

И что более важно, если да, то нужна именно площадь или объём? (площадь умноженная на бесконечно малую единицу)

Возможно написал сейчас полный бред. Извиняюсь, если вам из-за меня стало стыдно и уши свернулись и отвалились. А мозг отсох от тупости предположения.